题目内容

(2012•蓝山县模拟)若直线l:y+1=k(x-2)被圆C:x2+y2-2x-24=0截得的弦AB最短,则直线AB的方程是
x-y-3=0
x-y-3=0
分析:观察直线方程发现该直线恒过(2,-1),且根据此点到圆心的距离小于圆的半径得到此点在圆内,要使圆C截得的弦AB最短,故与AB垂直的直径必然过此点,则求出此直径所在直线的方程,根据两直线垂直得到两条直线的斜率乘积为-1,即可求出k得到直线AB的方程.
解答:解:把圆C:x2+y2-2x-24=0化简得:(x-1)2+y2=52
则圆心坐标为(1,0),r=5,
由直线l:y+1=k(x-2)可知:直线l过(2,-1);
∵此点到圆心的距离d=
(1-2)2+12
=
2
<5,即此点在圆内,
∵圆C截得的弦AB最短,∴与AB垂直的直径必然过此点,
设这条直径所在直线的解析式为l1:y=mx+b,
把(2,-1)和(1,0)代入求得y=-x+1,
又直线l1和直线AB垂直,两条直线的斜率乘积为-1,
所以得-k=-1,则k=1,
则直线AB的方程为y=x-3,即x-y-3=0.
故答案为:x-y-3=0
点评:此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:恒过定点的直线方程,圆的标准方程,直线的点斜式方程,以及两直线垂直时斜率满足的关系,其中根据题意得到与AB垂直的直径必然过(2,-1)是解本题的关键.
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