题目内容

(14分)如图，在三棱锥S—ABC中，是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA =" SC" =，M、N分别为AB、SB的中点。

⑴ 求证：AC⊥SB；
⑵ 求二面角N—CM—B的正切值；
⑶ 求点B到平面CMN的距离。

⑴取AC中点O，连结OS、OB∴SO⊥平面ABC，SO⊥BO如图建立空间直角坐标系O—xyz
  ⑵  ⑶

解析试题分析：⑴ 取AC中点O，连结OS、OB

∵平面平面ABC，平面SAC平面ABC=AC
∴SO⊥平面ABC， SO⊥BO
如图建立空间直角坐标系O—xyz
则



⑵ 由⑴得
设为平面CMN的一个法向量，则，取
则
又为平面ABC的一个法向量

⑶ 由⑴⑵得为平面CMN的一个法向量
∴点B到平面CMN的距离……14分
考点：线线垂直的判定，二面角点面距的计算
点评：本题的关键是由已知条件找到建立空间直角坐标系的合适位置，进而找到相关点，向量的坐标，代入线面角点面距的向量计算公式求解，有一定的难度

练习册系列答案
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（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求点D到面ABC的距离。

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（本题满分12分）在正四棱锥中，侧棱的长为，与所成的角的大小等于．

（1）求正四棱锥的体积；
（2）若正四棱锥的五个顶点都在球的表面上，求此球的半径．

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