Question

设x₁，x₂是函数f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=1．
（1）证明：0＜a≤

1

4

；
（2）证明：|b|≤

3

18

；
（3）设g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x₁＜x＜1，x₁＜0，求证：|g（x）|≤a．

Answer 1

分析：（1）由x₁，x₂是f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a＞0)的两个极值点，知x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²的两个根，由此入手能够证明0＜a≤

1

4

．
（2）由x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=1，知b²=（1-4a）a²，令h（a）=（1-4a）a²=-4a³+a²，得到h′（x）=-2a（6a-1）．由此能够证明|b|≤

3

18

．
（3）g（x）=f′（x）-a（x-x₁）（x-x₂）-a（x-x₁）（x-x₂-1），由x-x₁＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁＜0，知x₂＞0，x＜1，x-x₂-1＜0，由此能够证明|g（x）|≤a．

解答：解：（1）证明：∵x₁，x₂是f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a＞0)的两个极值点，
∴x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²的两个根，
∴x₁x₂=-a，…（2分）
∴由条件|x₁|+|x₂|=1及基本不等式可得
2

|x1x2|

≤|x1| +|x2| =1，
∴2

a

≤1，
∴0＜a≤

1

4

．…（5分）
（2）由条件可得x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=1，
即（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=1，
∴

b2

a2

-2(-a)+2a=1，
∴b²=（1-4a）a²，
令h（a）=（1-4a）a²=-4a³+a²，
则h′（x）=-2a（6a-1）．
∵0＜a≤

1

4

，
∴0＜a＜

1

6

时，h′（a）＞0；

1

6

＜a≤

1

4

时，h′（a）＜0．
∴h（a）在a=

1

6

处取得最大值-4(

1

6

)  3+

1

36

=

1

108

，
而h(0)=0，h(

1

4

) =0，
故h（a）在[0，

1

4

]上的最大值为

1

108

，
也就是在（0，

1

4

]上的最大值为

1

108

，此时a=

1

6

，
∴b2≤

1

108

，即|b|≤

3

18

．                          
（3）g（x）=f′（x）-a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂）-a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂-1），
由条件x-x₁＞0，
∵x₁x₂=-a＜0，x₁＜0，
∴x₂＞0，x＜1，
∴x-x₂-1＜0，
∴|g（x）|=a（x-x₁）（1+x₂-x）
≤a[

(x-x1)+(1+x2-x)

2

]  2
=a(

1+x2-x1

2

)2，
∵|x₁|+|x₂|=x₂-x₁=1，
∴|g(x)|≤a(

1+1

2

) 2=a．

点评：本题考查导数在最大值、最小值中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．