题目内容
如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,|AB|=3米,|AD|=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长应在什么范围内?
(2)若AN的长度不少于3米,则当AM、AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.
解:设AN的长为x米(x>2),矩形AMPN的面积为S,
∵,∴|AM|=.
∴S=|AN|·|AM|=.
(1)由S>32,得>32,∵x>2,
∴3x2-32x+64>0,即(3x-8)(x-8)>0.
∴2<x<或x>8,
即AN长的取值范围是(2,)∪(8,+∞).
(2)S=,则S′=.
∴当x>4时,S′>0,即函数S=在(4,+∞)上单调递增.
∴函数S=在[6,+∞]上也单调递增.
∴当x=6时,S=取得最小值,即S取得最小值27(平方米).
此时|AN|=6米,|AM|=4.5米.
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