题目内容

已知椭圆E： $数学公式$ （a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率e= $数学公式$ ．
（I）若点F在直线l：x-y+1=0上，求椭圆E的方程；
（II）若0＜a＜1，试探究椭圆E上是否存在点P，使得 $数学公式$ ？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）∵F（-c，0）在直线l：x-y+1=0上，
∴-c+1=0，即c=1，
又 $\text{[math]}$ ，∴a=2c=2，
∴b= $\text{[math]}$ ．
从而椭圆E的方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
椭圆E的方程为 $\text{[math]}$ ，其左焦点为 $\text{[math]}$ ，右顶点为A（a，0），
假设椭圆E上存在点P（x₀，y₀）（-a≤x₀≤a），使得 $\text{[math]}$ ，
∵点P（x₀，y₀）在椭圆上，∴ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =1．
解得：x₀=a±2，
∵0＜a＜1，∴
x₀=a±2∉[-a，a]，
故不存在点P，使得 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）椭圆的左焦点F在直线l：x-y+1=0上，把F的坐标代入直线方程可求c的值，与离心率e= $\text{[math]}$ 联立后可求a的值，则椭圆E的方程可求；
（Ⅱ）假设椭圆E上存在点P，使得 $\text{[math]}$ ，设出P点坐标，求出向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ 后求出点P的横坐标，由题目给出的a的范围推出点P横坐标不在[-a，a]内，从而得出矛盾，假设错误．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的标准方程，训练了存在性问题的处理方法，对于存在性问题，解决的思路是假设结论成立，把假设作为已知条件进行推理，得出正确的等式关系则假设成立，肯定结论，否则假设不成立，否定结论．此题是中档题．