题目内容
已知集合的元素全为实数,且满足:若,则。
(1)若,求出中其它所有元素;
(2)0是不是集合中的元素?请你设计一个实数,再求出中的所有元素?
(3)根据(1)(2),你能得出什么结论。
【答案】
(1)中元素为(2)(3)A中的元素为4的倍数
【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断,其中根据已知中若a∈A,则
∈A,将已知条件代入进行递推是解答本题的关键,在(3)的解答中易忽略使
三式均有意义时,对a的限制,而不能得到满分.
(1)由已知中若a∈A,则 ∈A,由a=2∈A,可得 ,再由
2∈A,进而得到A中的所有元素;
(2)根据已知中若a∈A,则 ∈A,令0∈A,可得-1∈A,根据此时
中分母为0,式子无意义,即可得到结论;
(3)根据已知中若a∈A,则 ∈A,结合(1)的结论可得 ∈A,而根据(2)的结论,可得要使 三式,均有意义,应有a≠0,a≠±1
解:(1)由,则,又由,得,再由
得,而,得,故中元素为.… 4分
(2) 不是的元素.若,则,而当时,不存在,故0不是的元素.取,可得.……………… 8分
(3) 猜想:①中没有元素;②已知A中的一个元素可得其余3个,且每两个互为负倒数.③A中元素个数为4的倍数。………10分
①由上题知:.若,则无解.故……12分
②设,则,
且.
显然.若,则,得:无实数解.
同理,.
故四个互不相等的数.
故A中的元素为4的倍数……………… 14分
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