Question

若不等式2x≥log_ax对任意的x＞0都成立，则正实数a的取值范围是（　　）

A．[ee，+∞）

B．[e 1 2e ，+∞）

C．[e2e，+∞）

D．[e 1 e ，+∞）

Answer 1

由于不等式2x≥log_ax对任意的x＞0都成立，∴a＞1．
令F（x）=2x-log_ax，则 F′（x）=2-

1

x

•logae，令 F′（x）=0 求得x=

1

2lna

．
在区间（0，

1

2lna

）上，F′（x）＜0，F（x）是减函数．
在区间（

1

2lna

，+∞）上，F′（x）＞0，F（x）是增函数．
故F（x）的最小值为 F（

1

2lna

）=

1

lna

-loga

1

2lna

≥0，即 loga

1

2lna

≥-

1

lna

，即

ln(2lna)

lna

≥-

1

lna

，即 ln（2lna）≥-1．
∴2lna≥

1

e

，即 lna²≥lne

1

e

，∴a²≥e

1

e

，a≥

e 1 e

=e

1

2e

．
故正实数a的取值范围是[e

1

2e

，+∞），
故选 B．