题目内容
已知抛物线
的焦点为双曲线
的一个焦点，且两条曲线都经过点
.
（1）求这两条曲线的标准方程；
（2）已知点
在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点
的坐标.
（1）
,
；（2）
或
.
【解析】
试题分析：（1）可以先利用待定系数法可以先求抛物线方程，然后利用定义法或待定系数法求出双曲线方程;
（2）先利用三角形的面积是4，求出点p的纵坐标是
，再利用点P在抛物线上，求出横坐标
即可.
试题解析：（1）∵抛物线
经过点
，
∴
，解得
，
∴抛物线的标准方程为. 3分
∴抛物线的焦点为
，∴双曲线的焦点为
．
法一：∴
，
，
∴
，
． 5分
∴
．
∴双曲线的标准方程为
. 8分
法二：
，∵双曲线经过点
，∴
， 5分
解得 
，
.
∴双曲线的标准方程为. 8分
（2）设点
的坐标为
，由题意得，
，∴， 11分
∵点
在抛物线上，∴，∴点
的坐标为或. 14分
考点：(1)双曲线的标准方程；(2)抛物线的标准方程.
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