Question

13．已知函数f（x）=mx²-mx-1．
（1）若不等式mx²-mx-1＜0对m∈[1，2]恒成立，求实数x的取值范围；
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m无解，求实数m的取值范围；
（3）若对于x∈[1，3]，存在x，使f（x）＜5-m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由不等式mx²-mx-1＜0对m∈[1，2]恒成立，可得x²-x-1＜0且2x²-4x-1＜0，即可求实数x的取值范围；
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m无解，m≥$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$对于x∈[1，3]恒成立，即可求实数m的取值范围；
（3）若对于x∈[1，3]，存在x，使f（x）＜5-m成立，m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，存在x∈[1，3]成立，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵不等式mx²-mx-1＜0对m∈[1，2]恒成立，
∴x²-x-1＜0且2x²-4x-1＜0，
∴1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
（2）f（x）＜-m+5?m（x²-x+1）＜6，
∵x²-x+1＞0，∴m≥$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$对于x∈[1，3]恒成立，
记g（x）=$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，x∈[1，3]，
记h（x）=x²-x+1，h（x）在x∈[1，3]上为增函数．则g（x）在[1，3]上为减函数，
∴[g（x）]_max=g（1）=6，∴m≥6   
∴m的取值范围为[6，+∞）．
（3）f（x）＜-m+5?m（x²-x+1）＜6，
∵x²-x+1＞0，∴m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，存在x∈[1，3]成立，
记g（x）=$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$，x∈[1，3]，
记h（x）=x²-x+1，h（x）在x∈[1，3]上为增函数．则g（x）在[1，3]上为减函数，
∴[g（x）]_min=g（3）=$\frac{6}{7}$，∴m＜$\frac{6}{7}$
∴m的取值范围为（-∞，$\frac{6}{7}$）．

点评 含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．