Question

如图(1)所示，⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，∠DAB＝60°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图(2)所示)．

(1)求证：OF∥平面ACD；

(2)在上是否存在点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试指出点G的位置，并求点G到平面ACD的距离；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）见解析（2）存在，h＝

【解析】(1)证明：如图所示，联结CO，

∵∠CAB＝45°，∴CO⊥AB，

又∵F为的中点，∴∠FOB＝45°，

∴OF∥AC.

∵OF平面ACD，AC平面ACD，

∴OF∥平面ACD.

(2)设在上存在点G，使得FG∥平面ACD，联结OG，如图．

∵OF∥平面ACD，OF∩FG＝F，∴平面OFG∥平面ACD，

∴OG∥AD，∠BOG＝∠BAD＝60°.

因此，在上存在点G，使得FG∥平面ACD，且点G为的中点．

联结AG，过C作CE⊥AD于E，联结OE，设点G到平面ACD的距离为h.

∵S△ACD＝·AD·CE＝×2×＝，S△GAD＝S△OAD＝×2×＝，

∴由V三棱锥G－ACD＝V三棱锥C－AGD，得××h＝××2，则h＝.