Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知“葫芦”曲线C由圆弧C₁与圆弧C₂相接而成，两相接点M，N均在直线y=-

2

3

上．圆弧C₁所在圆的圆心是坐标原点O，半径为r₁=2；圆弧C₂过点A（0，-6

2

）．
（Ⅰ）求圆弧C₂的方程；
（Ⅱ）已知直线l：mx-y-3

2

=0与“葫芦”曲线C交于E，F两点．当|EF|=4+4

2

时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据条件确定圆弧C₂对应的圆心和半径即可．（Ⅱ）

解答：解：（Ⅰ）因为圆弧C₁所在圆的圆心是坐标原点O，半径为r₁=2，所以BM=

OM2-OB2

=

4- 2 9

=

34

3

．
所以M（-

34

3

，-

2

3

），N（

34

3

，-

2

3

），
设圆弧C₂的圆心为（0，b），b＜0，半径为r．
则圆的标准方程为x²+（y-b）²=r²，
则因为圆弧C₂过点N（

34

3

，-

2

3

）和A（0，-6

2

），
所以

(-6 2 -b)2=r2 ( 34 3 )2+(- 2 3 -b)2=r2

，解得b=-3

2

，r=3

2

，
所以圆弧C₂的方程为x2+(y+3

2

)2=18．
（Ⅱ）直线mx-y-3

2

=0过圆弧C₂的圆心，因为圆弧C₂的直径为6

2

≤4+4

2

，所以直线与两个圆分别相交．

设圆弧C₂的圆心为D，设F（x，y），则DE=3

2

，所以DF=EF-DE=4+4

2

-3

2

=4+

2

．
则DF2=x2+(y+3

2

)2=(4+

2

)2，
即x2+y2+6

2

y+18=16+8

2

+2，
因为x²+y²=4，所以4+6

2

y+18=16+8

2

+2，即6

2

y=8

2

-4，
解得y=

4- 2

3

，代入x²+y²=4，解得x=±

4+ 2

3

，
即F（

4+ 2

3

，

4- 2

3

）或（-

4+ 2

3

，

4- 2

3

），
所以代入直线mx-y-3

2

=0，解得m=2

2

或-2

2

．
所以直线方程为：2x-

2

y-3=0或2x+

2

y+3=0．

点评：本题主要考查圆的标准方程的求法以及直线与圆的位置关系的应用，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．