Question

已知使函数f（x）=x³-ax²-1（0≤a≤M₀）存在整数零点的实数a恰有3个，则M₀的取值范围是

[

26

9

，

63

16

）

．

Answer 1

分析：由f（x）=0，解得a=x-

1

x2

．再利用a≥0即可得出x的取值范围，从最小的整数x讨论开始即可得出M₀的取值范围．

解答：解：当x=0时，f（0）=-1≠0，即x=0不是函数f（x）的零点；
当x≠0时，由f（x）=0，解得a=x-

1

x2

．
∵a≥0，∴x-

1

x2

≥0，解得x≥1．
当x=1时，a=0，满足题意；
当x=2时，a=2-

1

22

=

7

4

，满足题意；
当x=3时，a=3-

1

32

=

26

9

，满足题意；
当x=4时，a=4-

1

42

=

63

16

．
又∵a′=1+

2

x3

＞0，∴当x≥1时，x-

1

x2

等单调递增．
又∵函数f（x）存在整数零点的实数a恰有3个，∴M₀的取值范围是

26

9

≤a＜

63

16

．
故答案为[

26

9

，

63

16

)．

点评：利用函数零点的意义把问题正确等价转化，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．