题目内容
17.若一个函数存在定义域和值域相同的区间,则称这个函数为这个区间上的一个“保城函数”,给出下列四个函数:①f(x)=-x3;
②f(x)=3x;
③f(x)=sin$\frac{πx}{3}$;
④f(x)=2ln3x-3.
其中可以找到一个区间使其成为保城函数的有( )
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
分析 根据“等值区间”的定义,要想说明函数存在“等值区间”,只要举出一个符合定义的区间M即可,但要说明函数没有“等值区间”,可以用反证明法来说明.由此对四个函数逐一进行判断,即可得到答案.
解答 解:①对于函数f(x)=-x3存在“等值区间”,如 x∈[-1,1]时,f(x)=-x3∈[-1,1].
②对于函数f(x)=3x,若存在“等值区间”[a,b],由于函数是定义域内的增函数,故有3a=a,3b=b,
即方程3x=x有两个解,即y=3x和y=x的图象有两个交点,这与y=3x和y=x的图象没有公共点相矛盾,故不存在
“等值区间”.
③对于函数f(x)=sin$\frac{πx}{3}$,存在“等值区间”,如 x∈[0,$\frac{1}{2}$]时,f(x)=sin$\frac{πx}{3}$∈[0,$\frac{1}{2}$];
④对于f(x)=2ln3x-3,由于函数是定义域内的增函数,故有2ln3x-3=x有两个解,不成立,所以不存在
“等值区间”.
故选:B.
点评 本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求,考查了函数的值域,在说明一个函数没有“等值区间”时,利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键,属于创新题.
练习册系列答案
相关题目
8.如图,正方形ABCD的边长为1,正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直,G,H是DF,FC的中点.
(1)求证:GH∥平面CDE;
(2)求证:BC⊥平面CDE;
(3)求三棱锥A-BCG的体积.
(1)求证:GH∥平面CDE;
(2)求证:BC⊥平面CDE;
(3)求三棱锥A-BCG的体积.
12.在空间中,下列结论正确的是( )
A. | 平行于同一直线的两直线平行 | B. | 垂直于同一直线的两直线平行 | ||
C. | 平行于同一平面的两直线平行 | D. | 垂直于同一平面的两直线垂直 |