Question

如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：

（1）l是⊙O的切线；
（2）PB平分∠ABD.

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析.

解析试题分析：（1）连结OP,通过证明OP//BD得OP⊥l.，从而l是⊙O的切线；（2）连结AP，由（1）知l是⊙O的切线所以∠BPD=∠BAP，又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD.

试题解析：（1）连结OP，
因为AC⊥l，BD⊥l，     所以AC//BD.
又OA=OB，PC=PD，    所以OP//BD，从而OP⊥l.
因为P在⊙O上，     所以l是⊙O的切线. ...........5分
（2）连结AP，
因为l是⊙O的切线，     所以∠BPD=∠BAP. 
又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，
所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD.    .........10分
考点：圆的切线、几何证明选讲.