题目内容
若函数
在
处取得极大值或极小值,则称
为函数
的极值点。已知
是实数,1和
是函数
的两个极值点.
(1)求
和
的值;
(2)设函数
的导函数
,求
的极值点;
(3)设
,其中
,求函数
的零点个数.







(1)求


(2)设函数



(3)设



(1)
(2)
的极值点是-2
(3)当
时,函数
有5 个零点;当
时,函数
有9 个零点。

(2)

(3)当




(1)求出
的导数,根据1和
是函数
的两个极值点代入列方程组求解即可。
(2)由(1)得,
,求出
,令
,求解讨论即可。
(3)比较复杂,先分
和
讨论关于
的方程
根的情况;再考虑函数
的零点
解:(1)由
,得
。
∵1和
是函数
的两个极值点,
∴
,
,解得
。
(2)∵ 由(1)得,
,
∴
,解得
。
∵当
时,
;当
时,
,
∴
是
的极值点。
∵当
或
时,
,∴
不是
的极值点。
∴
的极值点是-2。
(3)令
,则
。
先讨论关于
的方程
根的情况:
当
时,由(2 )可知,
的两个不同的根为I 和一2 ,注意到
是奇函数,∴
的两个不同的根为一和2。
当
时,∵
,
,
∴一2 , -1,1 ,2 都不是
的根。
由(1)知
。
① 当
时,
,于是
是单调增函数,从而
。
此时
在
无实根。
② 当
时.
,于是
是单调增函数。
又∵
,
,
的图象不间断,
∴
在(1 , 2 )内有唯一实根。
同理,
在(一2 ,一I )内有唯一实根。
③ 当
时,
,于是
是单调减两数。
又∵
,
,
的图象不间断,
∴
在(一1,1 )内有唯一实根。
因此,当
时,
有两个不同的根
满足
;当
时
有三个不同的根
,满足
。
现考虑函数
的零点:
( i )当
时,
有两个根
,满足
。
而
有三个不同的根,
有两个不同的根,故
有5 个零点。
( 11 )当
时,
有三个不同的根
,满足
。
而
有三个不同的根,故
有9 个零点。
综上所述,当
时,函数
有5 个零点;当
时,函数
有9 个零点
【考点定位】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的应用,考查较全面系统,要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解。本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想,属于中高档试题,难度中等偏上,考查知识比较综合,全方位考查分析问题和解决问题的能力,运算量比较大。



(2)由(1)得,



(3)比较复杂,先分





解:(1)由


∵1和


∴



(2)∵ 由(1)得,

∴


∵当




∴


∵当





∴

(3)令


先讨论关于



当




当



∴一2 , -1,1 ,2 都不是

由(1)知

① 当




此时


② 当



又∵



∴

同理,

③ 当



又∵



∴

因此,当








现考虑函数

( i )当




而



( 11 )当




而


综上所述,当




【考点定位】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的应用,考查较全面系统,要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解。本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想,属于中高档试题,难度中等偏上,考查知识比较综合,全方位考查分析问题和解决问题的能力,运算量比较大。

练习册系列答案
相关题目