题目内容

16.已知a≥1,函数f(x)=4x+$\frac{9}{x+1}$+4(x∈[0,1]),g(x)=x3-3a2x-2a+16(x∈[0,1]).
(1)求f(x)和g(x)的值域;
(2)若?x1∈[0,1],?x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,试求a的取值范围.

分析 (1)利用基本不等式的性质即可求f(x)的值域,利用导数判断函数g(x)的单调性,进行求解即可.
(2)条件等价为$\left\{\begin{array}{l}{g(x)_{max}≥f(x)_{max}}\\{g(x)_{min}≤f(x)_{min}}\end{array}\right.$,利用函数的值域建立不等式关系即可.

解答 解:(1)f(x)=4x+$\frac{9}{x+1}$+4=4(x+1)+$\frac{9}{x+1}$,
设t=x+1,∵x∈[0,1],
∴t∈[1,2]),
则函数等价为h(t)=4t+$\frac{9}{t}$=4(t+$\frac{\frac{9}{4}}{t}$),则函数在[1,$\frac{3}{2}$]上单调递减,在[$\frac{3}{2}$,2]上单调递增,
则函数的最小值为h($\frac{3}{2}$)=4×$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{\frac{3}{2}}$=6+6=12,
h(1)=4+9=13,h(2)=8+$\frac{9}{2}$=$\frac{25}{2}$,
则最大值为h(1)=13,
则函数f(x)的值域为[12,13].
g′(x)=3x2-3a2=3(x2-a2),(x∈[0,1]).
∵a≥1,∴当x∈[0,1]时,g′(x)<0.
即函数在[0,1]上单调递减,则函数的最大值为g(0)=16-2a,最小值为g(1)=-3a2-2a+17,
则函数的值域为[-3a2-2a+17,16-2a].
(2)若?x1∈[0,1],?x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,
则等价为$\left\{\begin{array}{l}{g(x)_{max}≥f(x)_{max}}\\{g(x)_{min}≤f(x)_{min}}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{16-2a≥13}\\{-3{a}^{2}-2a+17≤9}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{3}{2}}\\{a≥\frac{4}{3}或a≤-2}\end{array}\right.$,解得$\frac{4}{3}$≤a≤$\frac{3}{2}$,
即a的取值范围是[$\frac{4}{3}$,$\frac{3}{2}$].

点评 本题主要考查函数值域的求解,利用导数法和基本不等式法是解决本题的关键.,考查学生的运算和推理能力.

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