题目内容
（09年海淀区期中理）（14分）
设函数
.
（Ⅰ）当
且函数
在其定义域上为增函数时，求
的取值范围；
（Ⅱ）若函数在
处取得极值，试用表示
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，讨论函数的单调性.
解析：（Ⅰ） 当
时，函数
，其定义域为
.
∴
.……………………1分
∵函数
是增函数，
∴当
时，
恒成立.…………………………………2分
即当时，
恒成立.
∵当
时，
，且当
时取
等号. …………………………………4分
∴
的取值范围为
. ……………………………5分
（Ⅱ） ∵
，且函数在
处取得极值，
∴ 
.
∴
.………………………………7分
此时
.
当
，即
时，
恒成立，此时不是极值点.
∴
.……………………8分
（Ⅲ）由
得
①当
时，
.
∴当
时，
；当
时，
.
∴当时，的单调递减区间为
，单调递增区间为
.………10分
②当
时，
.
∴当
，或时，；当
时，.
∴当时，的单调递减区间为
，单调递增区间为
，.…………………………12分
③当
时，
.
∴当，或
时，；当
时，.
∴当时，的单调递减区间为
，单调递增区间为，
.…………………………14分
综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，.
是定义在区间D上的函数，若对任何实数
以及D中的任意两数
，恒有
，则称
，
是否为各自定义域上的C函数，并说明理由；
，且
，记
. 对于满足条件的任意函数
的最大值；
是定义域为R的函数，且最小正周期为
，试证明（09年海淀区期中理）（14分）
某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：
足球 | 跳水 | 柔道 |
10 | 6 | 4 |
（Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2名，求他们观看的恰好是同一场比赛的概率；
（Ⅱ）从观看比赛的学生中，任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；
（Ⅲ） 如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数为
，求随机变量的分布列和数学期望.
，把函数
的图象向左平移一个单位得到函数
的图象，且
是偶函数.
的值；
，求函数
在区间
上的最大值和最小值.
，其中
.
的取值范围.