Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD₁，AB，CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成角为（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：连接B₁G，EG，先利用长方形的特点，证明四边形A₁B₁GE为平行四边形，从而A₁E∥B₁G，所以∠B₁GF即为异面直线A₁E与GF所成的角，再在三角形B₁GF中，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小

解答：解：如图：连接B₁G，EG
∵E，G分别是DD₁，CC₁的中点，
∴A₁B₁∥EG，A₁B₁=EG，∴四边形A₁B₁GE为平行四边形
∴A₁E∥B₁G，∴∠B₁GF即为异面直线A₁E与GF所成的角
在三角形B₁GF中，B₁G=

B1C12+C1G2

=

1+1

=

2

FG=

FC2+C G2

=

2+1

=

3

B₁F=

B1B2+BF2

=

4+1

=

5

∵B₁G²+FG²=B₁F²
∴∠B₁GF=90°
∴异面直线A₁E与GF所成角为90°
故选 D

点评：本题考查了空间异面直线所成的角的作法、证法、算法，长方体的性质及其中的数量关系的应用，将空间问题转化为平面问题的思想方法