题目内容

函数f（x）=-3loga（x-2）+2（a＞0且a≠1）的图象经过点A，若点A在直线mx+ny-4=0上，其中mn＞0，则
2
m
+
3
n
的最小值为
6
6
．
分析：先利用对数函数的性质求出定点A的坐标，然后得到一个恒等式，然后利用1的代换，利用基本不等式求式子的最小值．
解答：解：因为函数f（x）=-3loga（x-2）+2（a＞0且a≠1）的图象经过点A，
所以当x=3时，f（3）=2，即A（3，2）．
又点A在直线mx+ny-4=0，所以3m+2n=4，即
3m
4
+
n
2
=1．
所以
2
m
+
3
n
=（
2
m
+
3
n
）(
3m
4
+
n
2
)=
3
2
+
3
2
+(
9m
4n
+
n
m
)≥3+2
9m
4n
?
n
m
=3+2×
3
2
=6，
当且仅当
9m
4n
=
n
m
，即4n2=9m2时取等号，所以
2
m
+
3
n
的最小值是6．
故答案为：6．
点评：本题主要考查利用基本不等式求式子的最值问题，要注意1的整体代换．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=3x2+1，g（x）=2x，数列{an}满足对于一切n∈N*有an＞0，且f(an+1)-f(an)=g(an+1+
3
2
)．数列{bn}满足bn=logana，设k，l∈N*，bk=
1
1+3l
，bl=
1
1+3k
．
（1）求证：数列{an}为等比数列，并指出公比；
（2）若k+l=9，求数列{bn}的通项公式．
（3）若k+l=M0（M0为常数），求数列{an}从第几项起，后面的项都满足an＞1．
已知函数f（x）=
x(x2+3)
3x2+1
，数列{an}满足对于一切n∈N*有an＞1，且an+1=f（an）．数列{bn}满足，bn=
1
loga(ln
an-1
an+1
)
（a＞0且a≠1）设k，l∈N*，bk=
1
1+3l
，bl=
1
1+3k
．
（Ⅰ）求证：数列{ln
an-1
an+1
}为等比数列，并指出公比；
（Ⅱ）若k+l=5，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）若k+l=M0（M0为常数），求数列{abn}从第几项起，后面的项都满足abn＞1．
已知函数f（x）=3x2+1，g（x）=2x，数列{an}满足对于一切n∈N*有an＞0，且f(an+1)-f(an)=g(an+1+
3
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1
1+3l
，bl=
1
1+3k
．
（1）求证：数列{an}为等比数列，并指出公比；
（2）若k+l=9，求数列{bn}的通项公式．
已知函数f（x）=3x2+1，g（x）=2x，数列{an}满足对于一切n∈N*有an＞0，且f(an+1)-f(an)=g(an+1+
3
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)．数列{bn}满足bn=logana，设k，l∈N*，bk=
1
1+3l
，bl=
1
1+3k
．
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（2）若k+l=9，求数列{bn}的通项公式．
（3）若k+l=M0（M0为常数），求数列{an}从第几项起，后面的项都满足an＞1．

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