Question

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2．若同时满足条件：
（1）?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
（2）?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是（　　）

A．（-4，0）

B．（-∞，-2）

C．（-4，-2）

D．?

Answer 1

分析：由（1）可推得f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，建立关于m的不等式组可得m的范围，然后由（2）可得：?x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，只要使-4比2m，-m-3中较小的一个大即可，分类讨论可得m的范围，综合可得．

解答：解：∵g（x）=2^x-2，当x≥1时，g（x）≥0，
又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
所以二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，
即 

m＜0 -m-3＜1 2m＜1

，解得-4＜m＜0；
又因为?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
而此时有g（x）=2^x-2＜0．
∴?x∈（-∞，-4），使f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0成立，
由于m＜0，所以?x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，
故只要使-4比2m，-m-3中较小的一个大即可，
当m∈（-1，0）时，2m＞-m-3，只要-4＞-m-3，解得m＞1与m∈（-1，0）的交集为空集；
当m=-1时，两根为-2；-2＞-4，不符合；
当m∈（-4，-1）时，2m＜-m-3，∴只要-4＞2m，解得m＜-2，
综上可得m的取值范围是：（-4，-2）
故选C

点评：本题为二次函数和指数函数的综合应用，涉及数形结合的思想，属中档题．