Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=

2

，AB=1，AD=m，E为BC中点，且∠AEA₁恰为二面角A₁-ED-A的平面角．
（1）求证：平面A₁DE⊥平面A₁AE；
（2）求异面直线A₁E、CD所成的角；
（3）设△A₁DE的重心为G，问是否存在实数λ，使得

AM

=λ

AD

，且
MG⊥平面A₁ED同时成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据二面角的平面角的定义，可得二面角的棱垂直于平面角所在的平面，得线面垂直，再由线面垂直⇒面面垂直．
（2）建立空间直角坐标系，给出相关点与向量的坐标，根据AE⊥DE，求出m的值，再求向量夹角的余弦值．
（3）根据

AM

=λ

AD

，写出M的坐标，求出

MG

的坐标，根据条件MG⊥DE，MG⊥EA₁确定是否存在λ．

解答：解：（1）证明：∵∠AEA₁为二面角A₁-ED-A的平面角
∴A₁E⊥ED，AE⊥ED，A₁E∩AE=E，∴ED⊥平面A₁AE，DE?平面A₁DE，
∴平面A₁DE⊥平面A₁AE．
（2）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），A₁（0，0，

2

），B（1，0，0），D（0，m，0），E（1，

m

2

，0）．

A1E

=（1，

m

2

，-

2

），ED=（-1，

m

2

，0），AE=（1，

m

2

，0），
∵AE⊥ED，

AE

•

ED

=0，即-1+

m2

4

=0⇒m=2，则C（1，2，0），

CD

=（-1，0，0）

EA1

=(-1，-1，

2

)，cos＜

EA1

，

CD

＞=

EA1 • CD

| EA1 || CD |

=

1

1+1+2 × 1

=

1

2

，
∴异面直线A₁E、CD所成的角为60°．
（3）依题意得：G（

1

3

，1，

2

3

），

AM

=λ

AD

，∴M（0，2λ，0）．

MG

=（

1

3

，1-2λ，

2

3

），
假设存在λ满足题设条件，则

MG

•EA1=0，且

MG

•

ED

=0，
即

-1• 1 3 +(-1)•(1-2λ)+ 2 • 2 3 =0 -1• 1 3 +1•(1-2λ)+0• 2 3 =0

，
解得λ=

1

3

，
故存在实数λ=

1

3

，使得

AM

=λ

AD

，且MG⊥平面A₁ED同时成立．

点评：本题考查了利用向量坐标运算求异面直线所成的角，考查用向量法解决立体几何中的存在性问题，考查了学生的运算能力及逻辑推理能力，本题对向量的工具作用体现较好．