Question

已知（1+x）ⁿ的展开式中，第二、三、四项的系数成等差数列，则n等于（　　）

• A、7
• B、7或2
• C、6
• D、6或14

Answer 1

分析：由二项式定理，可得（1+x）ⁿ的展开式的第二、三、四项的系数，再结合题意，其展开式的第二、三、四项的系数成等差数列，可得
n+

n(n-1)(n-2)

6

=2×

n(n-1)

2

；解可得答案．

解答：解：根据题意，（1+x）ⁿ的展开式为T_r+1=C_n^rx^r，
则第二、三、四项的系数分别为C_n¹、C_n²、C_n³，
即n、

n(n-1)

2

、

n(n-1)(n-2)

6

；
又由这三项的系数成等差数列，
即n+

n(n-1)(n-2)

6

=2×

n(n-1)

2

；
解可得：n=7，n=0（舍）n=2（舍）；
故选A．

点评：本题考查二项式定理的运用，难点在于解关于n的方程n+

n(n-1)(n-2)

6

=2×

n(n-1)

2

，注意化简的技巧即可．