Question

某森林出现火灾，火势正以每分钟100m²的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m²，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1m²森林损失费为60元，（t表示救火时间，x表示去救火消防队员人数），问；
（1）求t关于x的函数表达式．
（2）求应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？

Answer 1

【答案】分析：（1）设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则t==，
（2）总损失为灭火材料、劳务津贴|车辆、器械、装备费与森林损失费的总和，得出y=125tx+100x+60（500+100t）=125x+100x+30000+，利用基本不等式或导数求最小值．
解答：解：（1）设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则t==，
（2）y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费
=125tx+100x+60（500+100t）
=125x+100x+30000+
方法一：y=1250•+100（x-2+2）+30000+
=31450+100（x-2）+
≥31450+2 =36450，
当且仅当100（x-2）=
即x=27时，y有最小值36450．
答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元、
方法二：y′=+100-=100-，
令100-，=0，
解得x=27或x=-23（舍）
当x＜27时y′＜0，当x＞27时y′＞0，
∴x=27时，y取最小值，最小值为36450元，
答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．
点评：本题考查阅读理解、建模、解模的能力、以及利用基本不等式求最值能力、利用导数求最值的能力．