Question

已知函数f(x)=

x-a

x-2

（1）若a∈N^*，且函数f（x）在区间（2，+∞）上是减函数，求a的值；
（2）若a∈R，且关于x的方程f（x）=-x有且只有一根落在区间（-2，-1）内，求a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞m-x^-3恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先将函数变形，利用函数在（2，+∞）上递减，可得2-a＞0，借助于a∈N^*，可确定a的值；
（2）利用零点存在定理，可得不等式（a-2）（a-6）＜0，从而可确定a的取值范围；
（3）不等式f（x）＞m-x^-3，对3≤x≤4恒成立，等价于F（x）=1+

1

x-2

+x^-3＞m对3≤x≤4恒成立，只需要求出F（x）的最小值，就可以得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

x-a

x-2

=1+

2-a

x-2

，由于函数在（2，+∞）上递减，所以2-a＞0，即a＜2，又a∈N^*，所以a=1；a=1时，f(x)=1+

1

x-2

---------------（4分）
（2）令F（x）=f（x）+x=

x-a

x-2

+x=x+1+

2-a

x-2

，F(-2)=-1+

2-a

-4

=

6-a

-4

，F(-1)=

2-a

-3

当F(-2)•F(-1)=

6-a

-4

•

2-a

-3

＜0时，即（a-2）（a-6）＜0，
∴2＜a＜6时关于x的方程f（x）=-x有且只有一根落在区间（-2，-1）内．（若用根与系数的关系求解，参照给分）    （9分）
（3）由（1）a=1时，f(x)=1+

1

x-2

，不等式f（x）＞m-x^-3，即F（x）=1+

1

x-2

+x^-3＞m对3≤x≤4恒成立，容易证明F（x）=1+

1

x-2

+x^-3在区间[3，4]上是减函数，x=4时F（x）取最小值

97

64

，所以m＜

97

64

．

点评：本题考查了函数的单调性，考查根的分布及恒成立问题的处理，有一定的综合性．