Question

某研究性学习小组研究函数f（x）=ax³+bx（a≠0，a，b为常数）的 性质：
（Ⅰ）甲同学得到如下表所示的部分自变量x及其对应函数值y的近似值（精确到0.01）：

x	-1	-0.72	-0.44	-0.16	0.12	0.4
y的近似值	4.00	1.15	0.02	-0.14	0.11	0.08

请你根据上述表格中的数据回答下列问题：
（i）函数f（x）在区间（0.4，0.44）内是否存在零点，写出你的判断并加以证明；
（ii）证明：函数f（x）在区间（-∞，-0.3）上单调递减；
（Ⅱ）乙同学发现对于函数f（x）图象上的两点A（-1，4），B（t，f（t））（-1＜t＜2），存在m∈（-1，t），使f'（m）的值恰为直线AB的斜率，请你判断乙同学的结论是否正确？若正确，请给出证明并确定m的个数，若不正确，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）（i）因为f（-x）+f（x）=a（-x）³+b（-x）+（ax³+bx）=0对任意的实数x恒成立，
所以函数f（x）为奇函数，
因此由f（0.44）=-f（-0.44）≈-0.02，得f（0.44）＜0，
又由f（0.4）≈0.08，得f（0.4）＞0，
∴函数f（x）在区间（0.4，0.44）内存在零点；
（ii）因为f（x）在区间（0.4，0.44）内有零点，
所以方程ax³+bx=ax（x²+）=0在区间（0.4，0.44）内有解，
得0.4＜＜0.44，
所以-0.1936．
注意x＜-0.3，所以有3x²＞0.27，得3x²+＞0．
由f（-1）=-a-b，f（0.4）=0.064a+0.4b，
得-0.84a=f（1）+2.5f（0.4）≈4.2，所以a＜0．
综上，f′（x）=3ax²+b=a（x²+）＜0对任意的x∈（-∞，-0.3）恒成立，
所以函数f（x）在区间（-∞，-0.3）上单调递减；
（Ⅱ）因为点A（-1，4）在函数f（x）图象上，
所以f（-1）=-a-b=4，所以f（x）=ax³-（a+4）x．
所以由f′（m）=3am²-a-4，得3am²-a-4=．
又a≠0，化简得m²=，即m₁=-，m₂=，
所以乙同学的判断是正确的．
且由±=t（-1＜t＜2），得t=0.5，所以
（1）当-1＜t≤0.5时，m₁∈（-1，t），m₂≥t，满足条件的m存在，且只有一个；
（2）当0.5＜t＜2时，m₁，m₂∈（-1，t），满足条件的m存在，且有两个．
分析：（Ⅰ）（i）根据函数f（x）=ax³+bx，判定函数的奇偶性，根据表格求出f（0.44）和f（0.4）的符号，根据函数零点判定定理即可求得结论；
（ii）根据（i），求出其零点的范围，即可求出的范围，求导，分析导函数的符号，即可证明结论；
（Ⅱ）把点A（-1，4）代入函数的表达式，即可求得-a-b=4，根据直线的斜率公式求得直线AB的斜率，求导，求得f'（m），解此方程即可求得结论．
点评：此题是个中档题．本题考查函数导数等基础知识，考查抽象概括能力，和运算求解能力，推理论证能力，数据处理能力；考查函数与方程思想，数形结合思想和化归与转化思想，特殊与一般思想．