题目内容
某研究性学习小组研究函数y=lnx上的点P(x,y)与原点o的连线所在的直线的斜率k的值的变化规律.记直线OP的斜率k=f(x).
(I)某同学甲发现:点P从左向右运动时,f(x)不断增大,试问:他的判断是否正确?若正确,请说明理由:若不正确,请给出你的正确判断;
(Ⅱ)某同学乙发现:总存在正实数a、b(a<b),使a
b=b
a.试问:他的判断是否正确?若不正确,请说明理由:若正确,请求出a的取值范围;
(III)某同学丙发现:当x>1时,函数k=f(x)的图象总在函数
g(x)=的图象的下方,试问:他的判断是否正确?若正确,请说明理由:若不正确,请给出你的正确判断.
分析:(I)某同学甲的判断不正确,理由为:
f(x)=,
f′(x)=,利用f'(x)的符号,可得f(x)的单调性.
(Ⅱ)同学乙的判断正确,理由为:x→+∞时,
f(x)=→0,且
>0(x>e),由图象可得总存在正实数a、b且1<a<e<b,使得f(a)=f(b),由此求得实数a的取值范围.
(III)同学丙的判断正确:由
f(x)-=-=,记
g(x)=lnx-+,由g′(x)的符号可得g(x)的单调性,根据g(x)的单调性可得g(x)<0,
f(x)-
<0,即 f(x)<
.
解答:
解:(I)某同学甲的判断不正确.
依题意可得,
f(x)=,
f′(x)=,
当x∈(0,e)时,f'(x)>0;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0.
所以,f(x)在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减. …(4分)
(Ⅱ)同学乙的判断正确.
∵当x→+∞时,
f(x)=→0,
且
>0(x>e),又由(1)得f(x)的图象如图所示
所以总存在正实数a、b且1<a<e<b,
使得f(a)=f(b)即
=也就是 a
b=b
a,
此时实数a的取值范围为(1,e).…(9分)
(III)同学丙的判断正确:问题等价于求证:当x>1时,
f(x)<成立.
∵
f(x)-=-=,记
g(x)=lnx-+,
g′(x)=-x--x-=x-(2-x-1)=-x-(-1)2<0,
所以g(x)在(1,+∞)上为减函数,则 g(x)=lnx-
+
<g(1)=0,
所以 f(x)-
<0,即 f(x)<
,
∴当x>1时,函数k=f(x)的图象总在函数
g(x)=的图象的下方. …(14分)
点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性,对数函数的图象性质的应用,属于中档题.
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