Question

8．己知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{{n{a_n}}}{{（2n+1）{{.2}^n}}}$是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）令c_n=$\frac{{{{（n+1）}^2}+1}}{{n（n+1）{a_{n+2}}}}$，记数列{c_n}的前n项和为S_n，其中n∈N^*，求S_n的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，由于各项均为正数的数列{a_n}，可得a_n+1=2a_n，再利用a₂+a₄=2a₃+4，及等比数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=$\frac{{n{a_n}}}{{（2n+1）{{.2}^n}}}$=$\frac{n}{2n+1}$，假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比数列，则$（\frac{m}{2m+1}）^{2}=\frac{1}{3}×\frac{n}{2n+1}$，化为$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$，由$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$＞0，解出m的范围，再根据正整数m，n（1＜m＜n）即可得出．
（III）c_n=$\frac{1}{2}•\frac{{n}^{2}+2n+2}{n（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}[\frac{1}{{2}^{n+1}}+\frac{1}{n•{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}]$，利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”方法可得S_n，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）由a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵各项均为正数的数列{a_n}，
∴a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列．
∵a₂+a₄=2a₃+4，
∴$2{a}_{1}+{a}_{1}×{2}^{3}$=$2{a}_{1}×{2}^{2}$+4，解得a₁=2．
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
（II）b_n=$\frac{{n{a_n}}}{{（2n+1）{{.2}^n}}}$=$\frac{n}{2n+1}$，假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比数列，
则$（\frac{m}{2m+1}）^{2}=\frac{1}{3}×\frac{n}{2n+1}$，化为$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$，
由$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$＞0，解得$1-\frac{\sqrt{6}}{2}＜m＜1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，
又正整数m，n（1＜m＜n），∴m=2，此时n=12．
因此当且仅当m=2，n=12时，使得b₁，b_m，b_n成等比数列．
（III）c_n=$\frac{{{{（n+1）}^2}+1}}{{n（n+1）{a_{n+2}}}}$=$\frac{1}{2}•\frac{{n}^{2}+2n+2}{n（n+1）•{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$$[\frac{{n}^{2}+n}{n（n+1）×{2}^{n+1}}+\frac{n+2}{n（n+1）×{2}^{n+1}}]$=$\frac{1}{2}[\frac{1}{{2}^{n+1}}+\frac{1}{n•{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}]$，
∴S_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n+1}}）$+$\frac{1}{2}[（\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×{2}^{2}}）+（\frac{1}{2×{2}^{2}}-\frac{1}{3×{2}^{3}}）$+…+$（\frac{1}{n•{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}）]$
=$\frac{1}{2}×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}$$[\frac{1}{2}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}]$=$\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{2}^{n+1}}•\frac{n+2}{n+1}]$，
∵数列$\{\frac{1}{{2}^{n+1}}•\frac{n+2}{n+1}\}$即$\{\frac{1}{{2}^{n+1}}（1+\frac{1}{n+1}）\}$单调递减，
∴0＜$\frac{1}{{2}^{n+1}}•\frac{n+2}{n+1}$≤$\frac{1}{{2}^{2}}•\frac{1+2}{1+1}$=$\frac{3}{8}$．
∴$\frac{5}{16}$≤$\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{2}^{n+1}}•\frac{n+2}{n+1}]$＜$\frac{1}{2}$．
∴S_n的取值范围是$[\frac{5}{16}，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．