题目内容
函数f（x）=|sin2x|+|cos2x|（Ⅰ）求f（-
| 7π |
| 12 |
（Ⅱ）当x∈[0，
| π |
| 4 |
（Ⅲ）我们知道，函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等，请你探究函数f（x）的性质（本小题只需直接写出结论）
分析：（I）把所给的自变量的值代入函数式，根据诱导公式化简整理出结果．
（II）对函数式进行整理，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，根据所给的角的范围写出ωx+φ的范围，根据三角函数的图象得到函数的值域．
（III）根据上一问整理出的函数的解析式，得到函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等．
（II）对函数式进行整理，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，根据所给的角的范围写出ωx+φ的范围，根据三角函数的图象得到函数的值域．
（III）根据上一问整理出的函数的解析式，得到函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等．
解答：解：（Ⅰ）f(-
)= |sin(-
)|+|cos(-
)| = |sin
|+|-cos
| =
2分
（Ⅱ）当x∈[0，
]时，2x∈[0，
]，则sin2x≥0，cos2x≥0…3分
∴f(x)=sin2x+cos2x=
sin(2x+
)…5分
又∵x∈[0，
]
∴2x+
∈[
，
]∴sin(2x+
)∈[
，1]
∴当x∈[0，
]时，f（x）的取值范围为[1，
]． …7分
（Ⅲ）①f（x）的定义域为R； …8分
②∵f（-x）=|sin（-2x）|+|cos（-2x）|=|sin2x|+|cos2x|=f（x）∴f（x）为偶函数． …9分
③∵f(x+
)= |sin(2x+
)|+|cos(2x+
)| = |cos2x|+|sin2x| =f(x)，
∴f（x）是周期为
的周期函数； …11分
④由（Ⅱ）可知，当x∈[0，
]时，f(x)=
sin(2x+
)，
∴值域为[1，
]． …12分
⑤可作出f（x）图象，如图所示：
由图象可知f（x）的增区间为[
，
+
]（k∈Z），
减区间为[
+
，
+
]（k∈Z） …14分
| 7π |
| 12 |
| 7π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
1+
| ||
| 2 |
（Ⅱ）当x∈[0，
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴f(x)=sin2x+cos2x=
| 2 |
| π |
| 4 |
又∵x∈[0，
| π |
| 4 |
∴2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
∴当x∈[0，
| π |
| 4 |
| 2 |
（Ⅲ）①f（x）的定义域为R； …8分
②∵f（-x）=|sin（-2x）|+|cos（-2x）|=|sin2x|+|cos2x|=f（x）∴f（x）为偶函数． …9分
③∵f(x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴f（x）是周期为
| π |
| 4 |
④由（Ⅱ）可知，当x∈[0，
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
∴值域为[1，
| 2 |
⑤可作出f（x）图象，如图所示：
由图象可知f（x）的增区间为[
| kπ |
| 4 |
| π |
| 8 |
| kπ |
| 4 |
减区间为[
| π |
| 8 |
| kπ |
| 4 |
| π |
| 4 |
| kπ |
| 4 |
点评：本题考查三角函数的恒等变形及三角函数的性质，本题考查三角函数利用公式 asinx+bcosx=
sin(x+θ)化简，再进行三角函数的性质的运算．
| a2+b2 |
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