题目内容

如图,已知单位圆上两点P,Q关于直线y=x对称,且以射线OP为终边的角的大小为x.
(1)求点P,Q的坐标;
(2)若另有两点M(a,-a)、N(-a,a),记f(x)=
MP
NQ
.当点P在上半圆上运动时(含圆与x轴的交点),求函数f(x)的表达式.
(3)在(2)的条件下,若函数f(x)最大值为-1,求实数a的值.
分析:(Ⅰ)由题意可得:P(cosx,sinx),点关于直线的对称点的知识可得Q(sinx,cosx).
(Ⅱ)根据题意结合向量的数量积的运算可得f(x)=2sinxcosx-2a(sinx-cosx)-2a2,又点P在上半圆上运动(含圆与x轴的交点),所以x∈[0,π],进而得到函数的解析式.
所以函数的表达式为:f(x)=2sinxcosx-2a(sinx-cosx)-2a2,x∈[0,π].
(Ⅲ)根据题意利用换元法得到:f(x)=-t2-2at-2a2+1,t∈[-1,
2
],再根据二次函数的有关性质求出函数的最大值,然后结合题意求出答案.
解答:解:(Ⅰ)由题意可得:点P为单位圆上点,并且以射线OP为终边的角的大小为x,
所以P(cosx,sinx),
又因为P,Q两点关于直线y=x对称,
所以Q(sinx,cosx).…2
(Ⅱ)因为P(cosx,sinx),Q(sinx,cosx),M(a,-a)、N(-a,a),
所以f(x)=
MP
NQ

=2(cosx-a)(sinx+a)
=2sinxcosx-2a(sinx-cosx)-2a2
又因为点P在上半圆上运动(含圆与x轴的交点),
所以x∈[0,π]…(6分)
所以函数的表达式为:f(x)=2sinxcosx-2a(sinx-cosx)-2a2,x∈[0,π].
(Ⅲ)设t=sinx-cosx=
2
sin(x-
π
4
)

因为x∈[0,π],所以t∈[-1,
2
].
所以f(x)=-t2-2at-2a2+1,t∈[-1,
2
],
设最大值为g(a)
①当-
2
≤a≤1,g(a)=1-a2
②当a>1,g(a)=2a-a2
③当a<-
2
,g(a)=-1-2
2
a-2a2
综上:g(a)=
1-a2
 (-
2
≤a≤1)
2a-a2
, 
 (a>1)
-1-2
2
a-2a2
 (a<-
2
)

又因为g(a)=-1,
所以a=-
2
2
+1
点评:本题主要考查二次函数函数定区间上求最值问题,以点关于直线的对称点与向量的数量积等问题,此题是一道综合性较强的题型,属于难题.
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