Question

已知等差数列{a_n}为递增数列，满足a32=5a1+5a5-25，在等比数列{b_n}中，b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列{Sn+

5

4

}是等比数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a32=5a1+5a5-25，利用等差数列的性质，可得a₃=5，利用b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13，可求等差数列{a_n}的公差，等比数列{b_n}的公比，从而可得数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅱ）S_n=

5 4 (1-2n)

1-2

=

5

4

•2n-

5

4

，从而Sn+

5

4

=

5

4

•2n，利用等比数列的定义可得结论．

解答：（Ⅰ）解：∵a32=5a1+5a5-25
∴a32=10a3-25
∴(a3-5)2=0
∴a₃=5
设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，则
∵b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13，
∴(a3+5)2=（a₂+2）（a₄+13）
∴100=（7-d）（18+d）
∴d²+11d-26=0
∴d=2或d=-13（数列递增，舍去）
∴b₃=a₂+2=5，b₄=a₃+5=10，
∴q=2
∴b_n=b₃q^n-3=5•2^n-3；
（Ⅱ）证明：S_n=

5 4 (1-2n)

1-2

=

5

4

•2n-

5

4

∴Sn+

5

4

=

5

4

•2n
∴

Sn+1+ 5 4

Sn+ 5 4

=

5 4 •2n+1

5 4 •2n

=2
∴数列{Sn+

5

4

}是以

5

2

为首项，2 为公比的等比数列．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等比数列的通项，等比数列关系的证明，确定公比是关键．