题目内容

已知函数f（x）定义在D=[-m，m]（m＞2）上且f（x）＞0，对于任意实数x，y，x+y∈D，都有f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1006，设函数g(x)=
f(2x)+f(x+1)+f(x)+1006
f(x)+1
-
1
f(x)
的最大值和最小值分别为M和N，则M+N=
2012
2012
．
分析：利用f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1006，化简函数，再利用奇函数的性质，即可求得结论．
解答：解：由题意，g(x)=
f(2x)+f(x+1)+f(x)+1006
f(x)+1
-
1
f(x)
=g(x)=
f(2x)+1006f(x)+f(x)+1006
f(x)+1
-
1
f(x)

=
f(2x)+f(x)
f(x)+1
-
1
f(x)
+1006=f(x)-
1
f(x)
+1006
∵h（x）=f(x)-
1
f(x)
，∴h（-x）=-h（x），
∴函数h（x）是奇函数
∵函数g(x)=
f(2x)+f(x+1)+f(x)+1006
f(x)+1
-
1
f(x)
的最大值和最小值分别为M和N，
∴M+N=2012
故答案为：2012．
点评：本题考查抽象函数，考查函数的化简，考查奇函数的性质，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，且当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）验证函数f(x)=ln
1-x
1+x
是否满足这些条件；
（Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．
已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解关于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2．
（2009•连云港二模）已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，则f（2009）=
4018
4018
．
已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又数列{an}满足：a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
．
（I）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（II）求f（an）关于n的函数解析式；
（III）令g（n）=f（an）且数列{an}满足bn=
1
g(n)
，若对于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求实数t的取值范围．
已知函数f（x）定义在R上，对任意的x∈R，f(x+1001)=
2
f(x)
+1
，已知f（11）=1，则f（2013）=
 
．

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