题目内容

若存在实常数,使得函数对其定义域上的任意实数分别满足:,则称直线的“隔离直线”.已知为自然对数的底数).
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)函数是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

(Ⅰ)当时,取极小值,其极小值为
(Ⅱ)函数存在唯一的隔离直线

解析试题分析:(Ⅰ)
.                      2分
时,
时,,此时函数递减;            3分
时,,此时函数递增;          4分
∴当时,取极小值,其极小值为.            5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数的图象在处有公共点,因此若存在的隔离直线,则该直线过这个公共点. 可设隔离直线的斜率为,则直线方程为:,即.                                
,可得,当时恒成立.
,     ,得.             6分
下面证明 ,当时恒成立.
,则

时,.                 8分
时,,此时函数递增;
时,,此时函数递减;
∴当时,取极大值,其极大值为.             10分
从而 ,即 恒成立.
∴函数存在唯一的隔离直线.            12分
考点:导数的几何意义,直线方程,应用导数研究函数的极值。
点评:中档题,曲线切线的斜率,等于函数在切点的导函数值。本题涉及“新定义”及存在性探究问题,在理解“新定义”的基础上,将存在性问题的探究,转化成函数不等式恒成立问题,从而通过构造函数、研究函数的单调性、明确函数的极值,达到解题目的。

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