Question

函数 ．

(Ⅰ) 当时，求证：；（4分）

(Ⅱ) 在区间上恒成立，求实数的范围。（4分）

(Ⅲ) 当时，求证：）．（4分）

 

Answer 1

【答案】

（I）见解析（II）. （III）见解析

【解析】（Ⅰ）构造函数，然后利用导数法研究单调性，进一步得到不等关系；（Ⅱ）把恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后利用导数法求解；（Ⅲ）利用放缩法证明不等式

（I）证明:设

则,则,即在处取到最小值,

    则,即原结论成立.

（II）解:由得 即,另,

      另,则单调递增,所以

      因为,所以,即单调递增,则的最大值为

      所以的取值范围为.

（III）证明:由第一问得知则

      则