题目内容

18．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α≠kπ，k∈Z）经过椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）的左焦点F．（1）求m的值；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最小值．

分析 （1）首先把参数方程转化成直角坐标方程，进一步利用点的坐标求出m的值．
（2）利用（1）的结论，进一步建立一参数为变量的一元二次方程，进一步根据根和系数的关系求出函数的关系式，再利用函数的值域求出结果．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosϕ\\ y=\sqrt{3}sinϕ\end{array}\right.$（φ为参数）的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，方程的左焦点为F，
∴F（-1，0）．                                   
∵直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α≠kπ，k∈Z）的普通方程为：y=tanα（x-m）．
∵α≠kπ，k∈Z，
∴tanα≠0                           
∵直线经过点F，
所以：0=tanα（-1-m），解得：m=-1．
（2）将直线的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数）代入椭圆C的普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$并整理得：
（3cos2α+4sin2α）t2-6tcosα-9=0．
设点A、B在直线参数方程中对应的参数分别为t1和t2，
则|FA|×|FB|=|t1t2|
=$\frac{9}{3{cos}^{2}α+4{sin}^{2}α}$
=$\frac{9}{3+{sin}^{2}α}$，
当sinα=±1时，|FA|×|FB|的最小值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的互化，及参数方程的应用，根和系数的关系的应用，三角函数的最值问题的应用，主要考察学生运算能力和对数形结合的理解能力．

练习册系列答案
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下列说法正确的是（ ）

A．，“”是“”的必要不充分条件

B．“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件

C．命题“，使得”的否定是：“，”

D．命题：“，”，则是真命题
10．一个正三棱柱的侧棱垂直于底面，且存在内切球，则该三棱柱的外接球与内切球的表面积之比为5：1．
6．已知某三棱锥的三视图均为腰长为2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的外接球的半径是（　　）
A．$\frac{\sqrt{3}}{2}$B．$\sqrt{3}$C．2D．2$\sqrt{3}$
13．设数列{an}的n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则{an}的通项公式an=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
2．已知数列{an}，则“an，an+1，an+2，（n∈N*）”成等比数列是“an+12=anan+2”的（　　）
A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．充要条件
9．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点．求证：AP•BC=AC•CP．
6．设锐角三角形ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a=2，B=2A，则b的取值范围为（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）．
6．设n∈N*，函数$f（x）=\frac{lnx}{x^n}$，函数$g（x）=\frac{e^x}{x^n}$，x∈（0，+∞）．
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上是否为单调函数，并说明理由；
（Ⅱ）若当n=1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≤t≤g（x2）成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）当n＞2时，若存在直线l：y=t（t∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，写出n的所有可能取值．（只需写出结论）

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