题目内容

设圆O的方程为x2+y2=r2(r>0),A(-r,0)、B(0,r)为直径的端点,C(x0,y0)是圆上的任意一点,从点A作直线m垂直于过点C的圆O的切线l,交直线BC于M.
(I)求l的方程;
(II)求点M的轨迹方程.
分析:(I)设Q(x,y)是切线l上异于点C的任意一点,利用向量
CQ
OC
互相垂直得
OC
CQ
=0,建立关于x0、y0、x、y的等式并利用x02+y02=r2化简,即可得到切线l的方程;
(II)算出l的斜率k=-
x0
y0
,由切线的性质得AM的斜率,利用点斜式写出AM的方程.再由直线方程的两点式给出直线 BC的方程,联解得到BC、AC交点M坐标进而得到C坐标关于x、y、r的形式,代入圆0的方程化简即得点M的轨迹方程.
解答:解:(I)设Q(x,y)是切线l上异于点C的任意一点
CQ
=(x-x0,y-y0),
OC
=(x0,y0),且
CQ
OC
互相垂直
OC
CQ
=0,得x0(x-x0)+y0(y-y0)=0,化简得x0x+y0y=x02+y02
∵点C(x0,y0)是圆上一点,可得x02+y02=r2
∴切线l的方程为x0x+y0y=r2
(II)由题意知C不与A、B重合,
∵AM⊥l,∴由直线l的斜率k=-
x0
y0
,得kAM=
-1
k
=
y0
x0

故AM的方程为y=
y0
x0
•(x+r)
,化简得y0x-x0y+y0r=0.①
又由两点式得直线BC的方程为y0x-(x0-r)y=-y0r.②
由方程①、②联解,得点C的坐标满足x0=
x+r
2
y0=
y
2

又∵C(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,
∴可得(
x+r
2
)
2
+(
y
2
)
2
=r2
,化简整理得(x+r)2+y2=4r2
结合点M不可能在x轴上,得点M的轨迹方程为(x+r)2+y2=4r2.(y≠0)
点评:本题给出圆的切线和动点满足的条件,求动点的轨迹方程.着重考查了圆的方程、直线与圆的位置关系和动点轨迹的求法等知识,属于中档题.
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