题目内容
（2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=
，若AB=4，BC=
，则Γ的两个焦点之间的距离为
．
| π |
| 4 |
| 2 |
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
分析：由题意画出图形，设椭圆的标准方程为
+
=1，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
解答：
解：如图，设椭圆的标准方程为
+
=1，
由题意知，2a=4，a=2．
∵∠CBA=
，BC=
，∴点C的坐标为C（-1，1），
因点C在椭圆上，∴
+
=1，
∴b2=
，
∴c2=a2-b2=4-
=
，c=
，
则Γ的两个焦点之间的距离为
．
故答案为：
．
解：如图，设椭圆的标准方程为| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由题意知，2a=4，a=2．
∵∠CBA=
| π |
| 4 |
| 2 |
因点C在椭圆上，∴
| (-1)2 |
| 4 |
| 12 |
| b2 |
∴b2=
| 4 |
| 3 |
∴c2=a2-b2=4-
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
则Γ的两个焦点之间的距离为
4
| ||
| 3 |
故答案为：
4
| ||
| 3 |
点评：本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．
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