Question

已知直线l：3x+4y+m=0平分圆x²+y²-14x+10y+74-m²-n²=0的面积，且直线l与圆x²+y²-2x-4y+5-n=0相切，则m+n=    ．

Answer 1

【答案】分析：由直线l平分圆的面积，得到直线l过圆心，将圆的方程x²+y²-14x+10y+74-m²-n²=0化为标准方程，找出圆心坐标与半径，把圆心坐标代入直线l方程中求出m的值，确定出直线l，再由直线l与圆x²+y²-2x-4y+5-n=0相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式求出n的值，即可确定出m+n的值．
解答：解：圆x²+y²-14x+10y+74-m²-n²=0化为方程得：（x-7）²+（y+5）²=m²+n²，
将圆心（7，-5）代入直线l得：21-20+m=0，
解得：m=-1，
∴直线l解析式为3x+4y-1=0，
∵直线l与圆x²+y²-2x-4y+5-n=0，即（x-1）²+（y-2）²=n相切，
∴圆心（1，2）到直线l的距离d=r，即=，
解得：n=4，
则m+n=-1+4=3．
故答案为：3
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．