Question

当最小正整数a的值为

 

时，（a+1）¹⁹被7除的余数为2．

Answer 1

分析：根据题意，将（a+1）¹⁹变形为[（a-6）+7]¹⁹，由二项式定理展开可得，（a+1）¹⁹=[（a-6）+7]¹⁹=7¹⁹+C₁₉¹•（a-6）7¹⁹+C₁₉²•（a-6）²•7¹⁷+…+C₁₉¹⁸•（a-6）¹⁸•7+（a-6），分析可得其展开式中7¹⁹+C₁₉¹•（a-6）7¹⁹+C₁₉²•（a-6）²•7¹⁷+…+C₁₉¹⁸•（a-6）¹⁸•7可以被7整除，又由题意分析可得，（a-6）被7除的余数为2，即a-6=7k+2，又由a为正整数，分析可得答案．

解答：解：根据题意，（a+1）¹⁹=[（a-6）+7]¹⁹=7¹⁹+C₁₉¹•（a-6）7¹⁹+C₁₉²•（a-6）²•7¹⁷+…+C₁₉¹⁸•（a-6）¹⁸•7+（a-6），
其中7¹⁹+C₁₉¹•（a-6）7¹⁹+C₁₉²•（a-6）²•7¹⁷+…+C₁₉¹⁸•（a-6）¹⁸•7可以被7整除，
若（a+1）¹⁹被7除的余数为2，必有（a-6）被7除的余数为2，
则a-6=7k+2，即a=7k+8，
又由a为正整数，
则k=-1时，a有最小值，其最小值为1，
故答案为1．

点评：本题考查二项式定理的应用，解题的关键是将（a+1）¹⁹变形为[（a-6）+7]¹⁹，进而根据二项式定理展开并分析．