Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=

1

4

x2的焦点，离心率为

2 5

5

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求证：λ₁+λ₂=-10．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，把抛物线方程整理成标准方程，求得焦点的坐标，进而求得椭圆的一个顶点，即b，利用离心率求得a和c关系进而求得a，则椭圆的方程可得．
（2）先根据椭圆的方程求得右焦点，设出A，B，M的坐标设出直线l的方程代入椭圆方程整理后利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而根据

MA

，

MB

，

AF

和

BF

利用题设条件求得λ₁和λ₂的表达式，进而求得λ₁+λ₂．

解答：解：（1）解：设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
抛物线方程化为x²=4y，其焦点为（0，1）
则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1
由e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

2 5

5

，∴a²=5，
所以椭圆C的标准方程为

x2

5

+y2=1
（2）证明：易求出椭圆C的右焦点F（2，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），显然直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k（x-2），代入方程

x2

5

+y2=1并整理，
得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
∴x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

又，

MA

=(x1，y1-y0)，

MB

=(x2，y2-y0)，

AF

=(2-x1，-y1)，

BF

=(2-x2，-y2)，而

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，
即（x₁-0，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁），（x₂-0，y₂-y₀）=λ₂（2-x₂，-y₂）
∴λ1=

x1

2-x1

，λ2=

x2

2-x2

，
所以λ1+λ2=

x1

2-x1

+

x2

2-x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=-10

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力，知识的迁移能力以及运算能力．