题目内容
已知点F（a，0）（a＞0），动点M、P分别在x、y轴上运动，满足| PM |
| PF |
| PN |
| PM |
（1）求点N的轨迹C的方程；
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点，设点K（-a，0），
| KA |
| KB |
| π |
| 2 |
分析：（1）设N（x，y），P（0，b），由
+
=0及M在x轴可得y=2b①，再由P满足
•
=0，及①可得x=
②，由①②可求C的轨迹方程
（2）设直线AB的方程为y=k（x-a），联立方程
整理可得，k2x2-（2ak2+4a）x+a2k2=0，再设A（x1，y1），B（x2，y2）由方程根与系数的关系可得x1+x2=
x1x2= a2，根据向量的数量积可得
•
=(x1+a)(x2+a)+y1y2，通过已知条件可求其范围，进而可求夹角θ的范围．
| PM |
| PN |
| PM |
| PF |
| b2 |
| a |
（2）设直线AB的方程为y=k（x-a），联立方程
|
| 2ak2+4a |
| k2 |
| KA |
| KB |
解答：解：（1）设N（x，y），P（0，b）
∵
+
=0∴M（-x，2b-y）
∵M在x轴∴2b-y=0，y=2b①
又P满足
•
=0，即PM⊥PF
∴
•
=-1，x=
②
由①②可得，y2=4ax
（2）设lAB：y=k（x-a）
则有
整理可得，k2x2-（2ak2+4a）x+a2k2=0
设A（x1，y1）B（x2，y2）
∴x1+x2=
x1x2= a2
∴
=(x1+a，y1)
=(x2+a，y2)
∴
•
=(x1+a)(x2+a)+y1y2=（x1+a）（x2+a）+k2（x1-a）（x2-a）
=[x1x2+a（x1+x2）+a2]+k2[x1x2-a（x1+x2）+a2]
=（1+k2）（x1x2+a2）+a（1-k2）（x1+x2）=
＞0
∴0＜θ＜
∵
| PM |
| PN |
∵M在x轴∴2b-y=0，y=2b①
又P满足
| PM |
| PF |
∴
| y-b |
| x |
| b |
| -a |
| b2 |
| a |
由①②可得，y2=4ax
（2）设lAB：y=k（x-a）
则有
|
整理可得，k2x2-（2ak2+4a）x+a2k2=0
设A（x1，y1）B（x2，y2）
∴x1+x2=
| 2ak2+4a |
| k2 |
∴
| KA |
| KB |
∴
| KA |
| KB |
=[x1x2+a（x1+x2）+a2]+k2[x1x2-a（x1+x2）+a2]
=（1+k2）（x1x2+a2）+a（1-k2）（x1+x2）=
| 4a |
| k2 |
∴0＜θ＜
| π |
| 2 |
点评：本题以向量的基本运算为载体，综合考查了向量垂直与直线垂直的相互转化的应用，点的轨迹的求解，直线与圆锥曲线的位置关系的考查，本题的重点与难点在于直线与抛物线的相交关系，这也是圆锥曲线常考的试题类型
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