题目内容

本题有（1）、（2）、（3）三个小题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分
（1）已知
10
12
B=
-43
4-1
，求矩阵B．
（2）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若曲线C1的极坐标方程为：ρcos(θ-
π
4
)=
2
，曲线C2的参数方程为：
x=2cosθ
y=
3
sinθ
（θ为参数），试求曲线C1、C2的交点的直角坐标．
（3）已知x2+2y2+3z2=
18
17
，求3x+2y+z的最小值．
分析：（1）根据题意，设B=
ab
cd
，则
10
12
B=
ab
a+2cb+2d
，根据矩阵的运算，可得关于a、b、c、d的方程组，解可得a、b、c、d的值，进而可得答案；
（2）根据极坐标的运算，将C1、C2的极坐标方程转化为普通的曲线方程，进而联立可得
x+y=2
3x2+4y2=12
，解可得答案；
（3）根据题意，使用配凑法，结合不等式的性质，有(x2+2y2+3z2)[32+(
2
)2+(
1
3
)2]≥(3x+
2
y
2
+
3
z
1
3
)2 ，即可得12≥（3x+2y+z）2，由平方的性质，计算可得答案．
解答：解：（1）
设B=
ab
cd
，则
10
12
B=
ab
a+2cb+2d

故
a=-4
b=3
a+2c=4
b+2d=-1
解得
a=-4
b=3
c=4
d=-2
故B=
-43
4-2

（2）曲线C1可化为：
2
2
ρcosθ+
2
2
ρsinθ=
2
，即x+y=2
曲线C2可化为
x2
4
+
y2
3
=1
联立
x+y=2
3x2+4y2=12
解得交点为(2，0)，(
2
7
，
12
7
)
（3）∵(x2+2y2+3z2)[32+(
2
)2+(
1
3
)2]
≥(3x+
2
y
2
+
3
z
1
3
)2 
≥（3x+2y+z）2
∴(3x+2y+z)2≤12，-2
3
≤3x+2y+z≤2
3

当且仅当x=-
9
3
17
，y=-
3
3
17
，z=-
3
17
时，
3x+2y+z取最小值，最小值为-2
3
．
点评：本题是选修内容，高考时一般为三选一或四选一，一般属基础知识的运用，所以难度一般不大，应注意不能失分．
练习册系列答案
相关题目
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，请考生任选2题作答．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R，若M=
-1a
b3
所对应的变换TM把直线L：2x-y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程：
x=t
y=1+2t
（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)．
①将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
②判断直线l和圆C的位置关系．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求实数x的范围．
本题有（1）、（2）、（3）三个选择题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
1a
-1b
，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=
2
1
．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）若向量β=
7
4
，计算A2β的值．

（2）．选修4-4：坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，点F1，F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t为参数，t∈R）．求点F1，F2到直线l的距离之和．
（3）．选修4-5：不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
12
34
．
①求矩阵A的逆矩阵B；
②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x，求直线l的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．圆C的参数方程为
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
（a为参数），点Q极坐标为（2，
7
4
π）．
（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；
（Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P、Q两点距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
（I）关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范围．
（II）设x，y，z∈R，且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1，求x+y+z的取值范围．
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（Ⅰ）选修4-2：矩阵与变换，
已知矩阵A=
01
a0
，矩阵B=
02
b0
，直线l1：x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l2，直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线l3：x+y+4=0，求直线l2的方程．
（Ⅱ）选修4-4：坐标系与参数方程，
求直线
x=-2+2t
y=-2t
被曲线
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦长．
（Ⅲ）选修4-5：不等式选讲，解不等式|x+1|+|2x-4|＞6．
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）已知矩阵M=
12
21
，β=
1
7
，（Ⅰ）求M-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M100β．
（2）曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．
（3）已知a＞0，求证：
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．

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