Question

如图，在四梭锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1．点M线段PD的中点．
（I）若PA=2，证明：平面ABM⊥平面PCD；
（II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用线面垂直证明面面垂直即可；
（II）本题难以直接作出直线与平面所成的角，可根据转化思想求出B点到平面的距离，再根据线面角的定义求sinθ关于高的函数，利用函数求最值的方法解决．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵点M为线段PD的中点，PA=AD=2，∴PD⊥AM．
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AB⊥PA
又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，PD?平面PAD
∴PD⊥AB．又AM∩AB=A，
∴PD⊥平面ABM，又PD?平面PCD，
∴平面ABM⊥平面PCD；
（Ⅱ）设点B到平面PCD的距离为d．
∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD．
∴点B到平面PCD的距离与点A到平面PCD的距离相等．
过点A在平面PAD内作AN⊥PD于N，
∵平面ABM⊥平面PCD，AN⊥平面PCD．
∴AN就是点A到平面PCD的距离．
设棱锥的高为x，则d=AN=

2x

4+x2

．
BM=

AB2+AM2

=

AB2+( PD 2 )2

=

1+ x2+4 4

=

2+ x2 4

．
∴sinθ=

d

BM

=

4x

32+12x2+x4

=

4

12+ 32 x2 +x2

．
∵12+

32

x2

+x²≥12+2

32

=12+8

2

，当且仅当x⁴=32，即x=2

4	2

时，等号成立．
故sinθ≤

4

12+8 2

=

4

2+2 2

=2

2

-2．
∴sinθ的最大值是2

2

-2．

点评：本题考查面面垂直的判定、直线与平面所成的角的求法．