题目内容
已知数列{an}中,a1=t,a2=t2(t>0),且an+1=(t+1)an-tan-1(n≥2).
(1)若t≠1,求证:数列{an+1-an}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
(3)若
<t<2,bn=
(n∈N*),试比较
+
+
+…+
与2n-2-
的大小.
(1)若t≠1,求证:数列{an+1-an}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
(3)若
1 |
2 |
2an | ||
1+
|
1 |
b1 |
1 |
b2 |
1 |
b3 |
1 |
bn |
n |
2 |
分析:(1)当t≠1时,an+1-an=t(an-an-1)(n≥2),故
=t(n≥2),由此能够证明{an+1-an}是首项为t2-t,公比为t的等比数列.
(2)当t≠1时,an+1-an=(t2-t)tn-1(t≠1),即an+1-an=tn+1-tn,故an-an-1=tn-tn-1,an-1-an-2=tn-1-tn-2,…,a2-a1=t2-t,将上列各等式相加得an=tn(t≠1),由此能够得到an=tn(t>0).
(3)由bn=
=
,得
=
(tn+
),由(2n+
)-(tn+
)=(2n-tn)
,和
<t<2,知2n>tn,2t>1,由此入手能够比较
+
+
+…+
与2n-2-
的大小.
an+1-an |
an-an-1 |
(2)当t≠1时,an+1-an=(t2-t)tn-1(t≠1),即an+1-an=tn+1-tn,故an-an-1=tn-tn-1,an-1-an-2=tn-1-tn-2,…,a2-a1=t2-t,将上列各等式相加得an=tn(t≠1),由此能够得到an=tn(t>0).
(3)由bn=
2an | ||
1+
|
2tn |
1+t2n |
1 |
bn |
1 |
2 |
1 |
tn |
1 |
2n |
1 |
tn |
(2t)n-1 |
(2t)n |
1 |
2 |
1 |
b1 |
1 |
b2 |
1 |
b3 |
1 |
bn |
n |
2 |
解答:解:(1)由已知得,当t≠1时,
an+1-an=t(an-an-1)(n≥2)…(2分)
∴
=t(n≥2),
又∵a2-a1=t2-t=t(t-1)≠0
∴{an+1-an}是首项为t2-t,公比为t的等比数列…(4分)
(2)由(1)得,当t≠1时,an+1-an=(t2-t)tn-1(t≠1),
即an+1-an=tn+1-tn(5分)
∴an-an-1=tn-tn-1,an-1-an-2=tn-1-tn-2,…,a2-a1=t2-t,
将上列各等式相加得an-a1=tn-t,
∴an=tn(t≠1)…(6分)
当t=1时,an+1-an=an-an-1=…=a2-a1=0,
∴an=1
综上可知an=tn(t>0)…(8分)
(3)由bn=
=
,
得
=
(tn+
)…(9分)
∵(2n+
)-(tn+
)=(2n-tn)
,
又
<t<2,
∴2n>tn,2t>1,
∴(2t)n>1,
∴2n+
>tn+
,
∴
<
(2n+
)…(11分)
∴
+
+…+
<
[(2+22+…+2n)+(
+
+…+
)]
=
[
+
]
=2n-
(1+2-n)<2n-
•2
=2n-2-
.…(14分)
an+1-an=t(an-an-1)(n≥2)…(2分)
∴
an+1-an |
an-an-1 |
又∵a2-a1=t2-t=t(t-1)≠0
∴{an+1-an}是首项为t2-t,公比为t的等比数列…(4分)
(2)由(1)得,当t≠1时,an+1-an=(t2-t)tn-1(t≠1),
即an+1-an=tn+1-tn(5分)
∴an-an-1=tn-tn-1,an-1-an-2=tn-1-tn-2,…,a2-a1=t2-t,
将上列各等式相加得an-a1=tn-t,
∴an=tn(t≠1)…(6分)
当t=1时,an+1-an=an-an-1=…=a2-a1=0,
∴an=1
综上可知an=tn(t>0)…(8分)
(3)由bn=
2an | ||
1+
|
2tn |
1+t2n |
得
1 |
bn |
1 |
2 |
1 |
tn |
∵(2n+
1 |
2n |
1 |
tn |
(2t)n-1 |
(2t)n |
又
1 |
2 |
∴2n>tn,2t>1,
∴(2t)n>1,
∴2n+
1 |
2n |
1 |
tn |
∴
1 |
bn |
1 |
2 |
1 |
2n |
∴
1 |
b1 |
1 |
b2 |
1 |
bn |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
2n |
=
1 |
2 |
2(2n-1) |
2-1 |
| ||||
1-
|
=2n-
1 |
2 |
1 |
2 |
1•2-n |
n |
2 |
点评:本题考查数列与不等式的综合运用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.

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已知数列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,则数列{an}的通项公式为( )
A、
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B、
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C、
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D、
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