Question

如图，在一段笔直的国道同侧有相距120米的A，C两处，点A，C到国道的距离分别是119米、47米，拟规划建设一个以AC为对角线的平行四边形ABCD的临时仓库，且四周围墙总长为400米，根据公路法以及省公路管理条例规定：建筑物离公路距离不得少于20米．若将临时仓库面积建到最大，该规划是否符合规定？

Answer 1

解：由题意，|AB|+|CB|=|DA|+|DC|=200＞160，所以平行四边形基地的另两个顶点B，D在以A，C为焦点的椭圆上
以AC所在直线为x轴，AC中点为原点建立直角坐标系，可得椭圆方程为
设公路所在直线l与x轴相交于点E，且CE=x米，则，∴x=，即点E（，0）
∴直线l的方程为：3x-4y-415=0
当C，D分别为椭圆短轴的两个端点时，临时仓库占地面积最大，此时D（0，-80），
点D到直线l的距离为=19＜20
∴该规划不符合规定．
分析：由题意，|AB|+|CB|=|DA|+|DC|=200＞160，所以平行四边形基地的另两个顶点B，D在以A，C为焦点的椭圆上，建立坐标系求出椭圆的方程，求出公路所在直线l的方程，当C，D分别为椭圆短轴的两个端点时，临时仓库占地面积最大，求出点D到直线l的距离，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的应用，考查椭圆的定义与标准方程，考查点到直线距离公式，属于中档题．