Question

已知函数f(x)=

f1(x)；x∈[0， 1 2 ) f2(x)；x∈[ 1 2 ，1]

．其中f1(x)=1-2(x-

1

2

)2，f2(x)=-2x+2
（1）求函数的最大值和最小值
（2）若x0∈[0，

1

2

)，x1=f(x0)，f(x1)=x0，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）由分段函数的特点，分别代入可得取值范围，综合可得；
（2）由x₀的范围，选择解析式可得x₁，再由x₁的范围可选解析式，代入可得x₀的方程，解之即可．

解答：解：（1）当x∈[0，

1

2

)时，f(x)=1-2(x-

1

2

)2在[0，

1

2

)上增，∴

1

2

≤f(x)＜1，
而当x∈[

1

2

，1]时，f（x）=-2x+2减，∴0≤f（x）≤1
综上可得：f（x）的最大值为1，最小值为0；
（2）x0∈[0，

1

2

)，x1=f(x0)=1-2(x0-

1

2

)2，
由上得x1∈[

1

2

，1)，∴f（x₁）=-2x₁+2=2-2[1-2(x0-

1

2

)2]=x0，
整理可得4x02-5x0+1=0，解得x0=1或x0=

1

4

，
由条件得x0=

1

4

即为所求．

点评：本题考查分段函数的最值问题，分段代入是解决问题的关键，属中档题．