Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°．设AD、PB、PC中点分别为E、F、G．
（Ⅰ）求证：PB⊥AD；
（Ⅱ）求证：EF∥平面PCD；
（Ⅲ）若PB=$\sqrt{6}$，求四面体G-BCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结PE、BE，由已知得PE⊥AD，BE⊥AD，从而AD⊥平面BPE，由此能证明PB⊥AD．
（Ⅱ）连结AC，交BD于O，连结EO、FO，由已知得OE∥CD，OF∥PD，从而平面EFO∥平面PDC，由此能证明EF∥平面PCD．
（Ⅲ）由PB=$\sqrt{6}$，由勾股定理得PE=$\sqrt{3}$，G到平面BDC的距离为$\frac{1}{2}PE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出四面体G-BCD的体积．

解答 证明：（Ⅰ）连结PE、BE，
∵底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°，AD、PB、PC中点分别为E、F、G，
∴PE⊥AD，BE⊥AD，
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面BPE，
∵PB?平面BPE，∴PB⊥AD．
（Ⅱ）连结AC，交BD于O，连结EO、FO，
∵AD、PB中点分别为E、F，∴OE∥CD，OF∥PD，
∵EO∩FO=O，PD∩DC=D，
∴平面EFO∥平面PDC，
∵EF?平面EFO，∴EF∥平面PCD．
解：（Ⅲ）∵PB=$\sqrt{6}$，BE=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，∴PE=$\sqrt{6-3}$=$\sqrt{3}$，
${S}_{△BDC}=\frac{1}{2}×BC×BE$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵G是PC的中点，∴G到平面BDC的距离为$\frac{1}{2}PE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四面体G-BCD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△BDC}×（\frac{1}{2}PE）$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，生查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．