题目内容

【题目】如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，给出下列命题：

①四棱锥的体积恒为定值；

②对于棱上任意一点E，在棱上均有相应的点G，使得平面；

③O为底面对角线和的交点，在棱上存在点H，使平面；

④存在唯一的点E，使得截面四边形的周长取得最小值.

其中为真命题的是____________________.（填写所有正确答案的序号）

【答案】①③④

【解析】

①将四棱锥转化为2个,进而求解判断即可；②找到反例即可；③利用中位线证明即可；④将四边形的周长的最值转化为的最值,进而求解即可

①,

又三棱锥为三棱锥,则底面不变,且因为平面,故点到底面的距离即三棱锥底面的高不变,故三棱锥的体积不变,所以四棱锥的体积不变,恒为定值,故①正确；

②当点在点处时,总有与平面相交,故②错误；

③由O为底面对角线和的交点,则,设为的中点,则在中,所以平面,故③正确；

④四边形的周长为,则分析即可,将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为截面平行四边形的周长取得最小值时唯一点,故④正确；

故答案为:①③④

练习册系列答案
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② 给定不共线向量和，总存在实数和，使得；

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④ 给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使得；

若上述命题中的向量在同一平面内且两两不共线，则其中真命题的序号为________.

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尺寸x（mm）

38

48

58

68

78

88

质量y (g)

16.8

18.8

20.7

22.4

24

25.5

质量与尺寸的比

0.442

0.392

0.357

0.329

0.308

0.290

（Ⅰ）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望；

（Ⅱ）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：

75.3

24.6

18.3

101.4

（ⅰ）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；

（ⅱ）已知优等品的收益（单位：千元）与的关系为，则当优等品的尺寸x为何值时，收益的预报值最大？（精确到0.1）

附：对于样本 ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.

【题目】在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变.某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：

（Ⅰ）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

附：相关系数公式

参考数据.

（Ⅱ）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案.

方案一：每满元可减元；

方案二：每满元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立.

①某位顾客购买了元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得元现金奖励的概率.

②某位顾客购买了元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回元现金，还是选择参加三次抽奖？说明理由.

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（Ⅱ）求在上的单调区间；

（Ⅲ）当时，证明：在上存在最小值.

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