Question

经过调查发现，某种新产品在投放市场的40天中，前20天，其价格直线上升，（价格是一次函数），而后20天，其价格则呈直线下降趋势，现抽取其中4天的价格如下表所示：

时间	第4天	第10天	第26天	第30天
价格/千元	13	16	15	11

（1）写出价格f（x）关于时间x的函数表达式（x表示投入市场的第x天）；
（2）若销售量g（x）与时间x的函数关系是g（x）=-

1

3

x+

43

3

（1≤x≤40，x∈N），求日销售额的最大值，并求第几天销售额最高？

Answer 1

分析：（1）价格直线上升，直线下降；说明价格函数f（x）是一次函数，由表中对应关系用待定系数法易求f（x）的表达式；
（2）由销售额=销售量×时间，得日销售额函数S（x）的解析式，从而求出s（x）的最大值．

解答：解：（1）用待定系数法不难得到f（x）=

1 2 x+11    (1≤x＜20，x∈N) -x+41    (20≤x≤40，x∈N)

；
（2）设日销售额为S千元，
当1≤x＜20时，S=(

1

2

x+11)(-

1

3

x+

43

3

)=-

1

6

(x-

21

2

)2+

4225

24

，
当x=10或11时，S_max=176（千元）‘
当20≤x≤40时，S=(-x+41)(-

1

3

x+

43

3

)=

1

3

(x-42)2-

1

3

，
∴x=20时，S_max=161（千元）．
综上所述，日销售额最高是在第10天或第11天，最高值为176千元．

点评：本题考查了分段函数的实际应用问题，关键是建立函数模型，考查求分段函数的解析式和最大值的应用题，最后转化为求二次函数在闭区间上的最大值，运算量较大．