Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分别是BC、A₁D₁的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点，AD=AA₁=a，AB=2a，
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角P-AE-D的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连结MK，NK， ∵M，N，K分别为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴。 （Ⅱ）解：设F为AD的中点， ∵P为的中点， ∴， ∴PF⊥面ABCD， 作FH⊥AE，交AE于H，连结PH， 则由三垂线定理得AE⊥PH， 从而∠PHF为二面角P-AE-D的平面角。 在Rt△AEF中，， 从而， 在Rt△PFH中，， 故二面角P-AE-D的大小为。