Question

【题目】如图，已知直四棱柱的底面是直角梯形，，，，分别是棱，上的动点，且，，．

（1）证明：无论点怎样运动，四边形都为矩形；

（2）当时，求几何体的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1)要证明无论点怎样运动,四边形为矩形；我们可根据已知中直四棱柱的底面是直角梯形，分别是上的动点，且，先由线面平行的性质定理，判断出四边形为平行四边形，再证明其邻边相互垂直，进而得到答案；（2）连接，我们易根据已知条件，结合直棱柱的几何特征和勾股定理，判断出到为四棱锥的高，根据及，我们计算出四棱锥面面积的和高，代入棱锥体积公式即可得到答案.

（1）在直四棱柱中，，

∵，∴，

又∵平面平面，平面平面，

平面平面，

∴，∴四边形为平行四边形，

∵侧棱底面，又平面内，

∴，∴四边形为矩形；

（2）证明：连结，∵四棱柱为直四棱柱，

∴侧棱底面，又平面内，∴，

在中，，，则；

在中，，，则；

在直角梯形中，；

∴，即，

又∵，∴平面；

由（Ⅰ）可知，四边形为矩形，且，，

∴矩形的面积为，

∴几何体的体积为.